動態(tài)規(guī)劃介紹

1. 前言

本節(jié)內(nèi)容是動態(tài)規(guī)劃算法系列之一：動態(tài)規(guī)劃的介紹，主要介紹了動態(tài)規(guī)劃的定義，什么樣的問題適合用動態(tài)規(guī)劃算法去求解，最后說明動態(tài)規(guī)劃算法在日常生活中的應(yīng)用場景。

2. 什么是動態(tài)規(guī)劃？

動態(tài)規(guī)劃（Dynamic Programming）在數(shù)學(xué)上屬于運籌學(xué)的一個分支，是求解決策過程 （decision process）最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法，同時也是計算機科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中一種常見的算法思想。

動態(tài)規(guī)劃算法與我們前面提及的分治算法相似，都是通過組合子問題的解來求解原問題的解。但是兩者之間也有很大區(qū)別：分治法將問題劃分為互不相交的子問題，遞歸的求解子問題，再將他們的解組合起來求解原問題的解；與之相反，動態(tài)規(guī)劃應(yīng)用于子問題相互重疊的情況，在這種情況下，分治法還是會做很多重復(fù)的不必要的工作，他會反復(fù)求解那些公共的子問題，而動態(tài)規(guī)劃算法則對相同的每個子問題只會求解一次，將其結(jié)果保存起來，避免一些不必要的計算工作。

Tips: 這里說到的動態(tài)規(guī)劃應(yīng)用于子問題相互重疊的情況，是指原問題不同的子問題之間具有相同的更小的子子問題，他們的求解過程和結(jié)果完全一樣。

動態(tài)規(guī)劃算法更多的時候是用來求解一些最優(yōu)化問題，這些問題有很多可行解，每個解都有一個值，利用動態(tài)規(guī)劃算法是希望找到具有最優(yōu)值的解。接下來，就讓我們具體看看動態(tài)規(guī)劃算法的求解思路及相關(guān)應(yīng)用場景。

3. 動態(tài)規(guī)劃算法求解分析

3.1 適用問題

首先，在利用動態(tài)規(guī)劃算法之前，我們需要清楚哪些問題適合用動態(tài)規(guī)劃算法求解。一般而言，能夠利用動態(tài)規(guī)劃算法求解的問題都會具備以下兩點性質(zhì)：

1. 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)： 利用動態(tài)規(guī)劃算法求解問題的第一步就是需要刻畫問題最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)，并且如果一個問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解，則此問題具備最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。因此，判斷某個問題是否適合用動態(tài)規(guī)劃算法，需要判斷該問題是否具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)。

Tips: 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的定義主要是在于當(dāng)前問題的最優(yōu)解可以從子問題的最優(yōu)解得出，當(dāng)子問題滿足最優(yōu)解之后，才可以通過子問題的最優(yōu)解獲得原問題的最優(yōu)解。

2. 重疊子問題： 適合用動態(tài)規(guī)劃算法去求解的最優(yōu)化問題應(yīng)該具備的第二個性質(zhì)是問題的子問題空間必須足夠” 小 “，也就是說原問題遞歸求解時會重復(fù)相同的子問題，而不是一直生成新的子問題。如果原問題的遞歸算法反復(fù)求解相同的子問題，我們就稱該最優(yōu)化問題具有重疊子問題。

Tips: 在這里，我們需要注意是，與適用動態(tài)規(guī)劃算法去求解的問題具備重疊子問題性質(zhì)相反，前面我們介紹的分治算法遞歸解決問題時，問題的子問題都是互不影響，相互獨立的，這個也是我們在選用動態(tài)規(guī)劃算法還是分治法解決問題時的一個判斷條件。

3.2 算法步驟

在明確什么樣的問題適合用動態(tài)規(guī)劃算法去求解時，我們需要掌握動態(tài)規(guī)劃算法的求解步驟：

步驟 1： 刻畫一個最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)特征

適合用動態(tài)規(guī)劃算法求解的問題需要滿足最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的特征，所以在應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃算法時的第一步就是刻畫問題最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)，一般都是用一些數(shù)學(xué)方法去描述求解問題，用數(shù)學(xué)公式表明最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)特征。

步驟 2： 遞歸的定義最優(yōu)解的值

當(dāng)應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃算法求解問題時，一般我們會遞歸的求解相同的子問題，這個時候，我們就需要去遞歸的定義最優(yōu)解的值，通常也是先用數(shù)學(xué)公式去遞歸定義。

步驟 3： 計算最優(yōu)解的值

當(dāng)我們可以清楚的刻畫一個最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)特征及可以遞歸的定義出最優(yōu)解的值之和，一般我們就可以采用自底向上的方法逐步去計算每一個最優(yōu)解的值，大問題的最優(yōu)解的值依賴于小問題的最優(yōu)解的值，這個是動態(tài)規(guī)劃算法的核心思想。

步驟 4: 利用計算出的信息構(gòu)造一個最優(yōu)解

前面的步驟 1,2,3 是動態(tài)規(guī)劃算法求解問題的基礎(chǔ)，如果我們僅僅需要一個最優(yōu)解的值，而不是需要了解最優(yōu)解本身，我們可以不用去執(zhí)行步驟 4；如果我們需要了解最優(yōu)解的具體情況，我們就需要在執(zhí)行步驟 3 的時候維護一些額外的信息，以便用來構(gòu)造出一個最優(yōu)解。

4. 動態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用場景

在日常的生活學(xué)習(xí)中，遞動態(tài)規(guī)劃算法一般可以用來解決很多實際問題?，F(xiàn)在，我們就來看看動態(tài)規(guī)劃算法具體有哪些應(yīng)用場景。

動態(tài)規(guī)劃示例問題：爬樓梯

假設(shè)你現(xiàn)在正在爬樓梯，一共需要經(jīng)過 n 階樓梯你才可以到達樓頂。每次你可以爬 樓梯的 1 或 2 個臺階。請問一共有多少種不同的方法可以爬到樓頂？

現(xiàn)在，讓我們按照動態(tài)規(guī)劃算法的求解步驟我們來分析一下這個問題：

步驟 1： 刻畫爬樓梯問題一個最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)特征

情況 1：輸入 n=1；輸出為 1
解釋 1：有一種情況可以爬上樓頂， 爬 1 步，記為 1

情況 2：輸入 n=2；輸出為 2
解釋 2：有兩種情況可以爬上樓頂，分別為連續(xù)兩次爬一階樓梯和一次爬兩階樓梯，記為 1+1，2

情況 3：輸入 n=3；輸出為 3
解釋 3：有三種情況可以爬上樓頂，如情況 1 和 2 描述一樣，記為 1+1+1,2+1,1+2

通過分析可以知道，爬樓梯問題主要在于我們可以一次爬兩步或者一步，所以到達最后一階樓梯 n 時，我們可以從第 n-2 階樓梯爬兩步或者第 n-1 樓梯爬一步完成。
當(dāng)我們需要知道最多有多少種方法可以爬上 n 階的樓梯時，我們需要分別知道爬上第 n-2 階樓梯最多有多少種方法，爬上第 n-1 階樓梯最多有多少種方法，然后爬上第 n 階樓梯的最多方法數(shù)量等于爬上第 n-1 階樓梯最多的方法數(shù)量加上爬上第 n-2 階樓梯最多的方法數(shù)量。

Tips: 在這里，我們可以發(fā)現(xiàn)爬樓梯問題滿足第 3 節(jié)我們定義的動態(tài)規(guī)劃算法需要具備的兩種性質(zhì)，其中的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)就是：爬上 n 階樓梯的最多方法數(shù)包含爬上第 n-1 樓梯和第 n-2 階樓梯的最多方法數(shù)；重疊子問題：需要反復(fù)的計算爬各階樓梯的最多方法數(shù)。

步驟 2： 遞歸的定義爬 n 階樓梯最多的方法數(shù)

• 上 1 階臺階：有 1 鐘方法；
• 上 2 階臺階：有 1+1 和 2 兩種方法；
• 上 3 階臺階：到達第 3 階的方法總數(shù)是到達第 1 階和第 2 階方法的總和；
• 上 n 階臺階：到達第 n 階的方法總數(shù)就是到第 (n-1) 階和第 (n-2) 階的方法數(shù)之和。

綜上所述，我們可以知道爬 n 階樓梯的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以定義為：goStep (n) = goStep (n-1)+goStep (n-2)。動態(tài)規(guī)劃算法最重要的就是去定義這個狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，通過這個狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程我們就可以很清楚的去計算。

步驟 3： 計算爬 n 階樓梯最多方法數(shù)的值

步驟 4： 利用計算出的信息構(gòu)爬 n 階樓梯每次走幾步的方法

其實在爬樓梯這個問題中，我們并不需要統(tǒng)計每次的具體爬樓梯方法，如果需要統(tǒng)計每次具體走法時，需要在計算的時候記錄之前的每一步走法，把信息全部記錄保留下來即可。

我們可以很明顯的發(fā)現(xiàn)，動態(tài)規(guī)劃算法很多時候都是應(yīng)用于求解一些最優(yōu)化問題（最大，最小，最多，最少），這類問題在現(xiàn)實生活或者學(xué)習(xí)科研中經(jīng)常會遇到，這是一種解決問題的思路與方法，希望大家可以好好思考。

5. 小結(jié)

本節(jié)主要介紹了動態(tài)規(guī)劃算法的定義及基本概念，在學(xué)完本節(jié)課程之后，需要明白什么樣的問題適合利用動態(tài)規(guī)劃求解，如何自己去設(shè)計一個動態(tài)規(guī)劃算法，以及我們?nèi)粘Ｉ钪心男?yīng)用場景適合用動態(tài)規(guī)劃思想解決問題。