我正在嘗試在不使用任何外部庫的情況下在 Python 中實(shí)現(xiàn) arcsin。這是我的代碼：from time import process_time as ptclass TrigoCalc(metaclass=__readonly): # This class evaluates various Trigonometric functions # including Inverse Trigonometric functions def __setattr__(self, name, value): raise Exception("Value can't be changed") @staticmethod def asin(x): '''Implementation from Taylor series asin(x) => summation[(2k)! * x^(2k + 1) / (2^(2k) * (k!)^2 * (2k + 1))] k = [0, inf) x should be real ''' # a0 = 1 # a1 = 1/(2*3) # a2 = 1/2 * 3/(4*5) # a3 = 1/2 * 3/4 * 5/(6*7) # a4 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/(8*9) # a5 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/(10*11) # a6 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * 11/(12*13) # a7 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * 11/12 * 13/(14*15) # a8 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * 11/12 * 13/14 * 15/(16*17) # a9 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * 11/12 * 13/14 * 15/16 * 17/(18*19) # a10 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * 11/12 * 13/14 * 15/16 * 17/18 * 19/(20*21) # taking 10 coefficients for arriving at a common sequence # N = n, D = n + 1; (N/D) --> Multiplication, number of times the coefficient number, n >= 1 start_time = pt() coeff_list = [] NUM_ITER = 10000 for k in range(NUM_ITER): if k == 0: coeff_list.append(1) else: N = 1 D = N + 1 C = N/D if k >= 2: for i in range(k-1): N += 2; D += 2 C = C * N/D coeff_list.append(C)
2 回答
翻翻過去那場(chǎng)雪
TA貢獻(xiàn)2065條經(jīng)驗(yàn) 獲得超14個(gè)贊
的問題arcsin(1)是它arcsin(x)在 x=1 處垂直（導(dǎo)數(shù)無限增長(zhǎng)）。像泰勒級(jí)數(shù)這樣的多項(xiàng)式逼近跟不上。您的收斂速度非常慢，并且需要大量的項(xiàng)才能獲得合適的近似值。你需要改變你處理問題的方式。
例如，對(duì)于小的 x，y = sin(pi/2 - x)近似為1 - x^2/2，您可以從中推導(dǎo)出近似值asin(y) = pi/2 - sqrt(2 - 2*y)。此近似值適用于非常接近 1 的值 - 您可以直接使用它。
如果你努力一點(diǎn)，你可以證明確切的身份
asin(x) = pi/2 - 2*asin( sqrt( (1-x)/2 ) )
使用此恒等式，您可以使用適用于接近 0 的asin(x)x 的現(xiàn)有函數(shù)來計(jì)算接近 1 的 x 。asin
例如：要計(jì)算，asin(0.99)您將計(jì)算：
asin(0.99) = pi/2 - 2*asin( sqrt( (1-.99)/2 ) ) = pi/2 - 2*asin( sqrt(.005) ) = pi/2 - 2*asin(0.07071067811865475)
... 然后您將使用您現(xiàn)有的算法來獲得 的高質(zhì)量近似值asin(0.07071067811865475)。
這是在生產(chǎn)質(zhì)量數(shù)學(xué)庫實(shí)現(xiàn)中使用的技術(shù) - 例如參見OpenLibm或fdlibm。
慕村225694
TA貢獻(xiàn)1880條經(jīng)驗(yàn) 獲得超4個(gè)贊
一個(gè)非?；镜慕浦祵⒔o出sum from 0 to N近似值（以弧度表示）。在這里，您以度為單位給出結(jié)果，因?yàn)槎群突《戎g存在大致的比率，您需要將arcsin 設(shè)置為近似值。arcsin1e(-N)1e2NUM_ITER = 1e(N+2)1e(-N)
因此，對(duì)于您的具體問題，您需要使用N = 1（大約 1 分）進(jìn)行測(cè)試，因此NUM_ITER = 1e(1+2) = 1,000. 這一點(diǎn)都不精確，但可以讓您了解您正在尋找的價(jià)值。
然后，如果您想查找確切的值，我看不到每次都使用精確的數(shù)學(xué)方法（無論 x.point 精度如何）。但是，您可以使用二分法算法來查找NUM_ITER，如果它是您算法的目標(biāo)。第一近似值將減少您的計(jì)算時(shí)間。
精確的近似值來自比率 orx^O(n)和4^O(n),4^O(n)更大。我們可以用 來近似求和項(xiàng)O(1/10^n)。
如果有人可以進(jìn)行精確的微積分，我將非常高興看到它。
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