首頁猿問為什么浮點數(shù)不準確？

為什么浮點數(shù)不準確？

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揚帆大魚 2019-05-22 13:47:02

為什么浮點數(shù)不準確？為什么有些數(shù)字在存儲為浮點數(shù)時會失去準確性？例如，十進制數(shù)9.2可以精確地表示為兩個十進制整數(shù)（92/10）的比率，兩者都可以用二進制（0b1011100/0b1010）精確表示。但是，存儲為浮點數(shù)的相同比率永遠不會完全等于9.2：32-bit "single precision" float: 9.1999998092651367187564-bit "double precision" float: 9.199999999999999289457264239899814128875732421875這樣一個看似簡單的數(shù)字如何在64位內(nèi)存中表達“太大” ？

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4 回答

阿晨1998

TA貢獻2037條經(jīng)驗獲得超6個贊

這不是一個完整的答案（mhlester已經(jīng)涵蓋了很多我不會復制的好地方），但我想強調一個數(shù)字的表示取決于你工作的基礎。

考慮分數(shù)2/3

在良好的基礎10中，我們通常會將其寫成類似的東西

0.666 ...
0.666
0.667

當我們查看這些表示時，我們傾向于將它們中的每一個與分數(shù)2/3相關聯(lián)，即使只有第一個表示在數(shù)學上等于分數(shù)。第二和第三表示/近似的誤差大約為0.001，實際上比9.2和9.1999999999999993之間的誤差差。事實上，第二個表示甚至沒有正確舍入！然而，我們沒有將0.666作為數(shù)字2/3的近似值的問題，所以我們不應該在大多數(shù)程序中如何逼近9.2。（是的，在某些程序中它很重要。）

數(shù)字基數(shù)

所以這里的數(shù)字基礎是重要的。如果我們試圖在基數(shù)3中代表2/3，那么

（2/3）₁₀ = 0.2 ₃

換句話說，通過切換基數(shù)，我們可以得到相同數(shù)字的精確有限表示！外賣是即使你可以將任何數(shù)字轉換為任何基數(shù)，所有有理數(shù)在某些基礎上都有精確的有限表示，但在其他基數(shù)中沒有。

為了把這一點推到家里，讓我們看看1/2。盡管這個完全簡單的數(shù)字在基數(shù)10和2中具有精確表示，但它可能會讓您感到驚訝，它需要在基數(shù)3中重復表示。

（1/2）₁₀ = 0.5 ₁₀ = 0.1 ₂ = 0.1111 ... ₃

為什么浮點數(shù)不準確？

因為它們經(jīng)常是近似于在基數(shù)2中無法有限地表示的有理數(shù)（數(shù)字重復），并且通常它們近似于在任何基數(shù)中可能無法在有限多個數(shù)字中表示的實數(shù)（可能是無理數(shù)）數(shù)。

反對回復 2019-05-22

Smart貓小萌

TA貢獻1911條經(jīng)驗獲得超7個贊

雖然所有其他答案都很好，但仍有一件事缺失：

這是不可能的代表無理數(shù)（如π，，sqrt(2)，log(3)等）精確！

這就是他們被稱為非理性的原因。世界上沒有多少比特存儲就足以容納其中一個。只有符號算術才能保持其精度。

雖然如果你將數(shù)學需求限制在有理數(shù)，但只有精度問題變得易于管理。您需要存儲一對（可能非常大）整數(shù)a并b保存分數(shù)所代表的數(shù)字a/b。所有算術都必須在分數(shù)上完成，就像在高中數(shù)學中一樣（例如a/b * c/d = ac/bd）。

當然，你仍然會遇到同樣的麻煩時pi，sqrt，log，sin，等都有涉及。

TL; DR

對于硬件加速算術，只能表示有限數(shù)量的有理數(shù)。每個不可表示的數(shù)字都是近似的。無論系統(tǒng)如何，都不能表示某些數(shù)字（即無理數(shù)）。

反對回復 2019-05-22

慕的地10843

TA貢獻1785條經(jīng)驗獲得超8個贊

有無數(shù)的實數(shù)（很多你不能枚舉它們），并且有無限多的有理數(shù)（有可能枚舉它們）。

浮點表示是有限的（就像計算機中的任何東西一樣），因此不可避免地會有很多很多數(shù)字無法表示。特別是，64位只允許您區(qū)分18,446,744,073,709,551,616個不同的值（與無窮大相比無差別）。按照標準慣例，9.2不是其中之一。對于某些整數(shù)m和e，可能具有m.2 ^ e形式的那些。

您可能會想出一個不同的計算系統(tǒng)，例如10，其中9.2將具有精確的表示。但其他數(shù)字，比如1/3，仍然無法代表。

另請注意，雙精度浮點數(shù)非常準確。它們可以表示任意數(shù)字，范圍很廣，最多可包含15個精確數(shù)字。對于日常生活計算，4或5位數(shù)就足夠了。你永遠不會真正需要那些15，除非你想要計算你一生中的每一毫秒。

反對回復 2019-05-22

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考慮分數(shù)2/3

數(shù)字基數(shù)

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