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為什么浮點(diǎn)數(shù)不準(zhǔn)確？

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揚(yáng)帆大魚(yú) 2019-05-22 13:47:02

為什么浮點(diǎn)數(shù)不準(zhǔn)確？為什么有些數(shù)字在存儲(chǔ)為浮點(diǎn)數(shù)時(shí)會(huì)失去準(zhǔn)確性？例如，十進(jìn)制數(shù)9.2可以精確地表示為兩個(gè)十進(jìn)制整數(shù)（92/10）的比率，兩者都可以用二進(jìn)制（0b1011100/0b1010）精確表示。但是，存儲(chǔ)為浮點(diǎn)數(shù)的相同比率永遠(yuǎn)不會(huì)完全等于9.2：32-bit "single precision" float: 9.1999998092651367187564-bit "double precision" float: 9.199999999999999289457264239899814128875732421875這樣一個(gè)看似簡(jiǎn)單的數(shù)字如何在64位內(nèi)存中表達(dá)“太大” ？

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4 回答

阿晨1998

TA貢獻(xiàn)2037條經(jīng)驗(yàn) 獲得超6個(gè)贊

這不是一個(gè)完整的答案（mhlester已經(jīng)涵蓋了很多我不會(huì)復(fù)制的好地方），但我想強(qiáng)調(diào)一個(gè)數(shù)字的表示取決于你工作的基礎(chǔ)。

考慮分?jǐn)?shù)2/3

在良好的基礎(chǔ)10中，我們通常會(huì)將其寫(xiě)成類(lèi)似的東西

0.666 ...
0.666
0.667

當(dāng)我們查看這些表示時(shí)，我們傾向于將它們中的每一個(gè)與分?jǐn)?shù)2/3相關(guān)聯(lián)，即使只有第一個(gè)表示在數(shù)學(xué)上等于分?jǐn)?shù)。第二和第三表示/近似的誤差大約為0.001，實(shí)際上比9.2和9.1999999999999993之間的誤差差。事實(shí)上，第二個(gè)表示甚至沒(méi)有正確舍入！然而，我們沒(méi)有將0.666作為數(shù)字2/3的近似值的問(wèn)題，所以我們不應(yīng)該在大多數(shù)程序中如何逼近9.2。（是的，在某些程序中它很重要。）

數(shù)字基數(shù)

所以這里的數(shù)字基礎(chǔ)是重要的。如果我們?cè)噲D在基數(shù)3中代表2/3，那么

（2/3）₁₀ = 0.2 ₃

換句話(huà)說(shuō)，通過(guò)切換基數(shù)，我們可以得到相同數(shù)字的精確有限表示！外賣(mài)是即使你可以將任何數(shù)字轉(zhuǎn)換為任何基數(shù)，所有有理數(shù)在某些基礎(chǔ)上都有精確的有限表示，但在其他基數(shù)中沒(méi)有。

為了把這一點(diǎn)推到家里，讓我們看看1/2。盡管這個(gè)完全簡(jiǎn)單的數(shù)字在基數(shù)10和2中具有精確表示，但它可能會(huì)讓您感到驚訝，它需要在基數(shù)3中重復(fù)表示。

（1/2）₁₀ = 0.5 ₁₀ = 0.1 ₂ = 0.1111 ... ₃

為什么浮點(diǎn)數(shù)不準(zhǔn)確？

因?yàn)樗鼈兘?jīng)常是近似于在基數(shù)2中無(wú)法有限地表示的有理數(shù)（數(shù)字重復(fù)），并且通常它們近似于在任何基數(shù)中可能無(wú)法在有限多個(gè)數(shù)字中表示的實(shí)數(shù)（可能是無(wú)理數(shù)）數(shù)。

反對(duì) 回復(fù) 2019-05-22

Smart貓小萌

TA貢獻(xiàn)1911條經(jīng)驗(yàn) 獲得超7個(gè)贊

雖然所有其他答案都很好，但仍有一件事缺失：

這是不可能的代表無(wú)理數(shù)（如π，，sqrt(2)，log(3)等）精確！

這就是他們被稱(chēng)為非理性的原因。世界上沒(méi)有多少比特存儲(chǔ)就足以容納其中一個(gè)。只有符號(hào)算術(shù)才能保持其精度。

雖然如果你將數(shù)學(xué)需求限制在有理數(shù)，但只有精度問(wèn)題變得易于管理。您需要存儲(chǔ)一對(duì)（可能非常大）整數(shù)a并b保存分?jǐn)?shù)所代表的數(shù)字a/b。所有算術(shù)都必須在分?jǐn)?shù)上完成，就像在高中數(shù)學(xué)中一樣（例如a/b * c/d = ac/bd）。

當(dāng)然，你仍然會(huì)遇到同樣的麻煩時(shí)pi，sqrt，log，sin，等都有涉及。

TL; DR

對(duì)于硬件加速算術(shù)，只能表示有限數(shù)量的有理數(shù)。每個(gè)不可表示的數(shù)字都是近似的。無(wú)論系統(tǒng)如何，都不能表示某些數(shù)字（即無(wú)理數(shù)）。

反對(duì) 回復(fù) 2019-05-22

慕的地10843

TA貢獻(xiàn)1785條經(jīng)驗(yàn) 獲得超8個(gè)贊

有無(wú)數(shù)的實(shí)數(shù)（很多你不能枚舉它們），并且有無(wú)限多的有理數(shù)（有可能枚舉它們）。

浮點(diǎn)表示是有限的（就像計(jì)算機(jī)中的任何東西一樣），因此不可避免地會(huì)有很多很多數(shù)字無(wú)法表示。特別是，64位只允許您區(qū)分18,446,744,073,709,551,616個(gè)不同的值（與無(wú)窮大相比無(wú)差別）。按照標(biāo)準(zhǔn)慣例，9.2不是其中之一。對(duì)于某些整數(shù)m和e，可能具有m.2 ^ e形式的那些。

您可能會(huì)想出一個(gè)不同的計(jì)算系統(tǒng)，例如10，其中9.2將具有精確的表示。但其他數(shù)字，比如1/3，仍然無(wú)法代表。

另請(qǐng)注意，雙精度浮點(diǎn)數(shù)非常準(zhǔn)確。它們可以表示任意數(shù)字，范圍很廣，最多可包含15個(gè)精確數(shù)字。對(duì)于日常生活計(jì)算，4或5位數(shù)就足夠了。你永遠(yuǎn)不會(huì)真正需要那些15，除非你想要計(jì)算你一生中的每一毫秒。

反對(duì) 回復(fù) 2019-05-22

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考慮分?jǐn)?shù)2/3

數(shù)字基數(shù)

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