定義：

給定一個(gè)正整數(shù)p，任意一個(gè)整數(shù)n，一定存在等式 ：

n = kp + r ；

其中 k、r 是整數(shù)，且 0 ≤ r < p，則稱(chēng) k 為 n 除以 p 的商，r 為 n 除以 p 的余數(shù)。

對(duì)于正整數(shù) p 和整數(shù) a,b，定義如下運(yùn)算：

取模運(yùn)算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余數(shù)。

模p加法： ，其結(jié)果是a+b算術(shù)和除以p的余數(shù)。

模p減法： ，其結(jié)果是a-b算術(shù)差除以p的余數(shù)。

模p乘法： ，其結(jié)果是 a * b算術(shù)乘法除以p的余數(shù)。

說(shuō)明：

1. 同余式：正整數(shù)a，b對(duì)p取模，它們的余數(shù)相同，記做 或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p 得到結(jié)果的正負(fù)由被除數(shù)n決定,與p無(wú)關(guān)。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

基本性質(zhì)

若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)

(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

對(duì)稱(chēng)性：a≡b (% p)等價(jià)于b≡a (% p)

傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)

運(yùn)算規(guī)則

模運(yùn)算與基本四則運(yùn)算有些相似，但是除法例外。其規(guī)則如下：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

結(jié)合律：

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

交換律：

(a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配律：

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

重要定理

若a≡b (% p)，則對(duì)于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

若a≡b (% p)，則對(duì)于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）