一、问题背景与算法思路

牛客4802题是一个典型的带附件的背包问题变种，要求在主件和附件存在依赖关系的情况下，选择物品组合使总价值最大化。本文通过动态规划方法，将问题转化为分组背包问题，通过预处理所有可能的组合方式来实现高效求解。

二、完整代码实现（带详细注释）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespACe std;

struct Item {
    int v, w, q; // 价格、重要度、主件ID
    int value;   // v*w
};


int main() {
    int budget, m;
    cin >> budget >> m;
    
    vector<Item> items(m+1); // 物品列表(1-based)
    vector<vector<int>> att(m+1); // 主件的附件索引    
    // 输入处理
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> items[i].v >> items[i].w >> items[i].q;
        items[i].value = items[i].v * items[i].w;
        if(items[i].q) att[items[i].q].push_back(i); // 记录附件关系
    }
    
    vector<int> dp(budget+1, 0); // 背包DP数组    
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        if(items[i].q) continue; // 只处理主件
        
        int v0 = items[i].v, w0 = items[i].value;
        vector<pair<int,int>> options;
        options.emplace_back(v0, w0); // 仅主件
        
        // 生成所有有效组合
        if(att[i].size() >= 1) { // 主件+附件1
            int v1 = items[att[i][0]].v, w1 = items[att[i][0]].value;
            options.emplace_back(v0+v1, w0+w1);
        }
        if(att[i].size() >= 2) { // 主件+附件2 和 主件+附件1+附件2
            int v2 = items[att[i][1]].v, w2 = items[att[i][1]].value;
            options.emplace_back(v0+v2, w0+w2);
            if(att[i].size() >= 1) {
                int v1 = items[att[i][0]].v, w1 = items[att[i][0]].value;
                options.emplace_back(v0+v1+v2, w0+w1+w2);
            }
        }
        
        // 01背包处理
        for(int j = budget; j >= 0; j--) {
            for(auto &opt : options) {
                if(j >= opt.first) {
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j-opt.first] + opt.second);
                }
            }
        }
    }
    
    cout << dp[budget] << endl;
    return 0;
}

三、关键算法要点

1. 数据结构设计：使用Item结构体存储物品属性，att数组记录主附件关系

2. 组合预处理：为每个主件生成所有可能的有效组合（主件、主件+附件1、主件+附件2、主件+附件1+附件2）

3. 动态规划处理：采用01背包思路，但每个主件及其组合作为一个"组"来处理

4. 空间优化：使用一维DP数组实现空间优化

四、复杂度分析

• 时间复杂度：O(budgetm4) ≈ O(n²)（最坏情况每个主件有2个附件）

• 空间复杂度：O(budget)（仅需一维DP数组）

五、常见错误提醒

1. 忘记处理主附件关系导致逻辑错误

2. 组合生成不完整（漏掉某些有效组合）

3. 背包DP数组初始化错误

4. 输入处理时索引越界

六、学习价值

通过本题可以掌握：

• 带依赖关系的背包问题解法

• 动态规划的状态转移优化

• 分组背包问题的变种解法

• 组合预处理技巧在实际问题中的应用

转自：动态规划进阶：牛客4802题带附件背包问题详解 | 组合优化技巧