一个修改的孪生素数猜想：在 (p²) 和 (p² + 4p) 之间总能找到一对孪生素数。

术语“孪生素数”是由德国数学家保罗·施泰凯尔在19世纪末首次提出的。在同一世纪中期，1849年，法国数学家阿尔方斯·德·波利尼亚克提出了被称为孪生素数猜想的猜想。该猜想认为：

存在无限多对素数(p)和(p+2)，这样的素数对相差恰好为2。

这个猜想仍然是一个开放性问题。同样，孪生素数是否有无限多也是个未解之谜。这只是与素数分布相关的众多未解之谜中的两个。

还有一个著名的关于素数的分布的未解问题叫做伯恩特猜想，它为：
（注：原文中的冒号在中文翻译中通常省略，此处保持一致，省去冒号。）

在 ( n ) 和 ( 2n ) 之间，总能找到一个质数。

对于两个连续的平方数之间，存在着勒让德猜想，它指出：

在这样的 ( n^2 ) 和 ( (n + 1)^2 ) 之间，总能找到一个质数。

感谢对素数及其倍数的模块化特性的观察，我们因此提出一个新的猜想，即孪生素数也可能存在类似的模式。

猜想：在之间总是能找到一对孪生素数的范围内。

((p^2) < 孪生素数 < (p^2 + 4p))

素数的无限性和孪生质数

正如古希腊数学家欧几里得所证明的，素数的数量是无限的。几个世纪以来，许多数学家重复了他的证明过程，并证明这一点是正确的。他们以新颖的方法再次证实了存在无限数量的素数。就这样，素数一直延伸到无限。

最近，在2014年，我们在理解孪生素数的本质方面取得了重大进展。这一进展是由张益唐的一篇关于素数间隔界限的论文引发的，该论文发表在普林斯顿大学的《数学年刊》上。他的开创性工作很快得到了两位菲尔兹奖得主詹姆斯·梅纳德和陶高昆（特伦斯·陶的中文名字）的进一步突破性工作的补充。梅纳德的论文发表在arXiv上，而陶高昆的论文同样发表在arXiv上。

看起来证明孪生素数猜想的突破就在眼前。也许很快，我们就能证明孪生素数是否真的无限存在。不过，他们用来取得快速进展的方法和技术，现在已经达到了自然的数学极限。因此，我们不得不寻找新的途径。

在我们共同努力理解素数的过程中，我们可能过于专注于素数本身，依赖诸如大O符号这样的估算技巧（方法），以及基于素数计数函数等其他估算，数学家们可能忽略了素数的自然栖息地：数轴。

在追求新颖性、抽象理论和算法的过程中，我们或许错过了一个简单的方法，该方法揭示了素数看似随机和难以预测的本质。这可能是因为我们忽视了自然数的本质。相反，我们重新将注意力集中在素数的生存环境上，在数轴上跟踪它们的位置，从而发现了新的孪生素数猜想。我们是通过思考它们的缺失而发现的。

换句话说，我们找到了数轴上那些我们知道整数绝对不是质数的位置，这成为了寻找孪生素数的关键。

引理一 ：所有大于 3 的质数都可以表示为 ±1 (mod 6)。

引理2： 形如 +/–1 (模6) 的数不一定是质数，例如质数的平方，还包括两个或多个质数的乘积。

引理3: 当两个或多个素数相乘时，它们的乘积会是一个形式为+/– 1 (mod6)的数。

引理 4: 所有形如 +/– 1 (模6) 的数在乘法运算中构成一个封闭集合。

基于上述前提，可以得出形式为+/– 1（模6）的数即6k±1的形式在乘法下是闭合的，并且这样的数要么是素数，要么是至少两个素数的乘积。

素数（除了2和3）：(6k — 1) 和 (6k + 1)

素数平方 ：（6k-1）² 或 （6k+1）²

素数形式的组合 : (6k — 1)(6k + 1), (6k — 1)(6k — 1), 或 (6k +1)(6k + 1)

我们将利用素数、素数的平方数以及素数与合数的关系来证明波利加克猜想中的孪生素数猜想版本，并研究并证明我们关于孪生素数动态特性的新猜想。

（Mod 6）方法与埃拉托色尼筛法

为了熟悉我们将要研究的+/– 1（模6）素数和合数，我们先从埃拉托色尼筛法开始。

当我们把它应用到数轴上时，埃拉托色尼筛法建议我们选择2和3这两个数，并移除它们后面的所有倍数。在移除2的倍数后，所有的偶数将从数轴上消失。接下来，我们将排除3的非偶数倍数，比如：9，15，21，27……

去掉2的偶数倍和3的奇数倍之后，数轴上剩下的整数都是这种形式的：+/– 1 (mod6)。

这些数都是形如 (6k +/– 1) 或 +/– 1 (mod6)，它们要么是质数，要么是素数的平方，要么是质数合数，即两个或两个以上质数的乘积。素数的平方都形如：(6k + 1)。而质数和质数合数则可以是形如 (6k + 1) 或 (6k — 1)。

接下来，我们将重新排列这条数轴，使得埃拉托色尼筛法也以这种模数形式进行，即将形式为 (6k ± 1) 的数字分为两组，一组在数轴的上方，一组在数轴的下方。

以模块化方式排列数轴，有助于我们更直观地看到素数和合数的分布。

正如我们将要展示的，每个素数及其倍数都遵循一种独特的模式，这种模式是由该素数特有的值与六相乘决定的。

这个(+6p)比率我们把它叫做“特定的素数波长”。

引理 5：对于每个素数 ( p )，存在一个唯一的“波长”为 ( 6p )。

比如说，(5)(6) = 30，而 (7)(6) = 42。

有两种方式可以用来追踪素数的倍数，我们可以把它们视作“波”。如果我们以(+6p)作为每一项的公差，结果会形成一个等差数列。但在这种情况下，我们更喜欢把这种序列看作是一种“波”，原因很快就会变得显而易见。

我们需要为每个素数定义两个“波”，因为如果我们从(+p)开始算算术级数，我们只会“计算”一半可能的素数的乘积。相反，我们应当在零的两侧开始计算。一个“波”从(-p)开始，另一个则从(+p)开始。

引理 6 ：存在两个（+6p）的等差数列，追踪素数的若干倍。

例如，如果 (p = 5)，那么“波”值就是：(5)(6) = 30。这样等差数列的公差就是 (+30)。如果我们从 (–5) 开始，每次加上 30，结果就是：

当我们从 (p = –5) 开始这个序列时，生成的“波形”在 (5)(6k — 1) 形式的倍数之间交替变化：

（–5）———（55）———（115）———→
–∥ — — — — ∥ — — — — — ∥ — — — — — ∥ — — — — — ∥ — — →
———（25）———（85）———（145）→

此外，还有正的“波”(p = +5)，它“影响到”所有形式为 (5)(6k + 1) 的值，这是因为同样的 (+30) 等差数列：

(35)(95)(155)→
∥——— ∥——— ∥——— ∥——— ∥——— ∥——→
(+5)———(65)———(125)———→

这个等差数列的公差也是一样的。

我们可以将这两个波形模式结合起来，并在调整过的数轴上同时观察它们。如果我们从正数（+5）开始，新的“单一波”将遵循同样的算术规律（+30），包含所有（5）_(6k +/– 1)_的值。

然而，我们新组合成的“单一波”不再有相同的间隔。相反，这种模式以两种不同的值波动：(+4p) 和 (+2p)。

一个是：+2/3（6p）。另一个是：+1/3（6p）。

现在这个“单一波”以这样的速率传播着：(+4p, +2p, +4p, +2p, +4p…)。

尽管进展不均，但它总是准确地落在这样的倍数上：5 和 (6k±1)。

这种模式对于任何素数（p）及其倍数同样适用，这些倍数的形式是（6k+1 或 6k-1）。

重要的是要指出，我们新组合的“单一波”的这种偏移变化意味着它不再是一个真正的等差序列。对于等差序列而言，项之间的差必须一致。由于这个公差不再恒定，因此这个序列不再是一个等差序列。最多只能说它是一个半规则的等差序列。

然而，正如我们上面所展示的，当我们将新的“单一波”动态整合起来时，它会贯穿我们修改后的埃拉托色尼筛法数轴上的所有（模6）值。这意味着它“触及”了每个素数(p)的所有倍数。

例如，如果（p = 5），这样的半算术序列是：

(5 + 4p) 读作 25; (25 + 2p) 读作 35; (35 + 4p) 读作 55; (55 + 2p) 读作 65…

若 (p = 7)，，则该等差数列如下：
(+4p, +2p…)

(7 + 4p) = 35; (35 + 2p) = 49; (49 + 4p) = 77; (77 + 2p) = 91…

如果我们交替地加上两个增长速度，那么这些项的差值就形成了等差数列。

例如，(7 + 4p) = 35; (35 + 2p) = 49; 和 (35 + 2p) = 49; (49 + 4p) = 77; 因此， (77–35) = (49–7) = 42 = (+6p)

为了追踪素数(p)的半算术序列，并以(mod6)单位进行增量计算，我们可以为每个素数计算唯一的(x, y)对。

为了计算 (x, y) 的值，我们这样算：

令 ( x = p - \frac{p + / - 1}{3} )

令 $y = \frac{p + /-1)}{3}$

以 (p = 7) 的情况为例，模6时，半算术级数将是：(+5, +2, +5, +2, +5, +2…)。

关于模6下的前几个素数的(x, y)半算术级数的形式，例如：
在模6下，前几个素数的(x, y)半算术级数的形式为：

5: 这是一个数列，其中数值依次为 +3, +2, +3, +2, +3, +2… (+3, +2, +3, +2, +3, +2…)

7: (+5, +2, +5, +2, +5, +2...) (正5，正2，正5，正2，正5，正2...)

11: (+7, +4, +7, +4, +7, +4…)

13: (+9, +4, +9, +4, +9, +4...) 这种模式重复出现，就像这样反复：(+9, +4, +9, +4, +9, +4...)

17: 这是一个模式序列：(+11, +6, +11, +6, +11, +6…)

19: (+13, +6, +13, +6, +13, +6…)

23: 按照这个模式 (+15, +8, +15, +8, +15, +8…) 继续下去。

素数算术级数及其倍数的类似帕斯卡三角形。

为了进一步直观地展示素数及其倍数的算术规律，并以值模6的形式进行排列，可以创建一个类似于帕斯卡尔三角形的结构。

红色的数字表示5、7、11和13这些数字的平方除以6的余数。对角线显示的是_6k ± 1_形式的质数位置的交点。这些图案的形成取决于每个质数独特的(x, y)坐标。

如下所示，如果我们再在金字塔中添加一个项，当对角线从右向左倾斜时，它们会跟踪交替累加的（x, y）。

从右上角到左下角，对角线以值 (k) 开始，适用于素数的形式：(6k +/ — 1)，然后半算术序列的模式通过添加 (x, y) 值来交替。

例如，当 p = 5 时，当值为 (k) = 1 时：

我们知道：（1 加上 3 等于 4），（4 加上 2 等于 6），（6 加上 3 等于 9），（9 加上 2 等于 11）。

当 (p = 7) 时，(k) 的值同样为 1，但模式不同的原因是因为 (x, y) 的特殊性：

(1 + 5) = 6,; (6 + 2) = 8,; (8 + 5) = 13,; (13 + 2) = 15

对于 (p = 11) 和 (p = 13)，它们具有相同的 (k) 值，它们的独特序列分别是：

(2加7)等于9；(9加4)等于13；(13加7)等于20；(20加4)等于24

(二加九)等于十一; (十一加四)等于十五; (十五加九)等于二十四; (二十四加四)等于二十八

正如我们在上面的金字塔中看到的，某些值被“遗漏”了。这是因为素数 (x, y) 值的独特。随着金字塔的进一步扩大，同样的“跳过”现象会继续出现。

或者说，当我们数到无限时。

孪生素数猜想中的不均匀算术序列动态

这是修改版孪生素数猜想的关键因素，即素数的倍数会按照一种可预测的模式出现。这是因为它们都遵循一个特定的模式，例如 (6k ± 1) 这种形式。

正如我们所见，素数及其倍数的独特排列揭示了一个模式，其中某些值（mod6）总是被素数的后面倍数忽略。

现在，让我们来分析(+4p)这个范围，确定素数的“波动”及其素数的复合数和被跳过的值，与根据我们的孪生素数猜想的孪生素数分布之间的关系。

𝑝 ² < 孪生素数 < (𝑝 ² + 4𝑝)

(p ²) 和 (p ² + 4p) 之间的差值显然是 (+4p)。正如我们之前所展示的，这是素数序列中的一个交替率。为了研究这一动态，我们首先要计算 (+4p) 的 (mod6) 值的数量。这可以计算出 (6k-1) 和 (6k+1) 这种形式的数字的数量。换句话说，从 (mod6) 的角度，(+4p) 范围内可能会有素数或合数的位置数量。

这是一个简单的操作，我们将分成四个部分中的六分之一：(4p/6)。

这显然可以改写为：(2p/3)

比如说，假设 (p = 19)，扩展后 (+ 4p) 的结果为：4(19) = 76，

于是我们算了一下：(76/6) = (38/3) = 12.6666，结果是：12.6666

这意味着，在+ 4p的范围内，模6的数线上有12个数值。

这也告诉我们可能的孪生质数对，按照(mod6)的规则，它们出现在以下范围之间：(61–73)。

在自然数中，这12对数值是：(365, 367); (371, 373); (377, 379); (383, 385); (389, 391); (395, 397); (401, 403); (407, 409); (413, 415); (419, 421); (425, 427), (431, 433)。

接下来，我们要找出这些较小的质数（素数），它们的“波长”会与那12组成对的数字相交。

为了确定这个值，我们计算：√(p ² + 4p)。

结果不仅指出了限制，还说明了可能与公式<(_p_² + 4p)相交的素数数量。

例如，如果 (p = 19)，最高值为 17。

那是因为19形如6k +1，因此，19的平方后，算术序列的第一个增量是(+4p)。换句话说，正如我们之前所证明的，我们不需要考虑19作为较小的素数，因为(+4p)是(p²)之后的第一个倍数，这意味着19不会“命中”这些12个可能的孪生素数位置。

若 p = 19，在 (+4p) 范围内较小的素数为：5, 7, 11, 13, 17。这也说明较小素数的数量是 5。

接下来，我们计算它们各自独有的(+6p)“波长”与在(+4p)范围内与模6相关的12个值相交的次数是多少：

5倍（365、385、395、415、425）

7: 4个（371，385，413，427）

11: 2倍（385，407）

13: 两次（377，403）

17: 两次（391，425）

一共15次。

需要注意的是，其中一些数字具有相同的(k)值，这一点值得注意。为了排除一个可能的孪生素数对，我们只需要一个(6k +/– 1)的值被“命中”。换句话说，我们只需要一个(k)的(+/–)值就可以了。质数的“波浪”可以“撞击”(6k — 1)或(6k + 1)。

因此，我们可以从总数中去掉任何冗余。

5: 5个独一无二的命中数（365, 385, 395, 415, 425）

7: 1 唯一（371）;

11: 1 独一无二 (407)

第13行: 这行代码是唯一的 (377, 403);

17: 1 独一无二 (391)

总计：10个独一无二的“匹配”

只剩下10个所谓的“独特”的波长交汇点，这些交汇点对应较小的素数的倍数。

如果我们从这12个潜在的((_+ 4p) )范围内的孪生素数对中减去那10个独特的“命中”，我们会发现有2个(mod6)值，在这两个值中，无论是((_6k — 1) )还是((_6k + 1) )，都不会被较小素数“击中”。换句话说，有2个((_k) )值，它们不会被任何较小素数的倍数“击中”。这些值不会被“击中”。

这告诉我们，这两个(6k ± 1)值都不是素数的平方，也不是由两个或两个以上素数相乘得到的数，也就是两个或两个以上素数的乘积。

因此，那两个未被选中的值都必须是质数。最后，如果两个(k)值都是质数，我们知道这两个数肯定是一对孪生素数。

回到我们的例子，如果 (p=19)，我们会发现2对孪生素数：(419, 421)；(431, 433)。

哪一项符合猜想：( p^2 < ) 孪生素数 ( < (p^2 + 4p) )

19² = 361 < (419, 421)，(431, 433) < (361 + 4 * 19) = 437

以下表格列出了在修改后的孪生素数动态下前几个质数的结果。

表1.4

A 列：(x) 的值为如下：p - ((p + 1) / 3)

列 B ：B 列的 (y) 值是 (p +/– 1) ÷ 3

列 C：素数的 (+4p) 范围（模6 表示为 (2p/3)）

列 D 的：小于 (p² + 4p) 的素数的数目

要注意的是，列A的值总是大于列B的值。另外，列C中的潜在孪生素数数量总是不少于列D值的两倍，其中列D的值是较小的素数的数量。

现在，让我们把这些都汇总起来，找出一对孪生素数。

以我们的例子为例，我们来看看这种情况下的 p = 17。

我们从孪生素数的特定区间开始，这个区间由p²和(p² + 4p)界定。

这可以写为：17² = 289 < 孪生素数 < (17² + 4(17)) = 357

值得注意的是，（p² + 4p）还可以表示为：（(p + 2)² — 4）。

如果 (p = 17)，则在 ((+4p)) 区间内孪生素数可能的位置数计算为：(2p \div 3)，约为 11.33333。

为了准确计算(+4p)范围内的数值个数（模6），我们有以下两个方程：

如果 (p = 6k - 1)，我们计算：(\frac{2}{3p} + \frac{2}{3} - 1)

如果 ( p = _6k + 1 )，我们就计算：( \left(\frac{2}{3}p - \frac{2}{3}\right) ).

因为 17 可以表示为 (6k — 1)，所以：

((2/3)×17 + 2/3) — 1 = 11，这个表达式等于11.

所以，我们发现从289到357之间有11个值（取模6后的值）。

接下来，我们计算较小的质数的“间距”在该区间内“击中”11个值的次数。

要做到这一点，我们这样计算：(\sqrt{p² + 4p})

当 ( p = 17 ) 时，我们发现 (\sqrt{17^2 + 4 \cdot 17} = \sqrt{357} \approx 18.8944436)

这告诉我们极限是17；此外，还告诉我们形式为(6k + 1)或(6k - 1)的较小质数有5个，即：(5, 7, 11, 13, 17)。

接下来，我们确定这5个较小的素数在(+4p)的范围内与哪些（模6的）11个值相匹配：

5个5的倍数有：(295, 305, 325, 335, 355)

7的3个倍数：（301, 329, 343）

11的两个倍数：(319, 341)

13的倍数包括，例如（299和325），

17的倍数是：(323)

共13

为了更好地理解这些较小素数的“周期”如何在数轴上（模6）与不同(k)值相交，我们可以来看一下。

接下来，我们要计算独特交集的数量。

我们注意到(299, 301)；(323, 325)；和(341, 343)在_k取模6的意义上共享值。这样一来，减少我们的计数。当我们统计在+4p_范围内被较小质数的倍数的“波长”击中的_k_值时，新的总数是9个“独特击中”的值。

在(+4p)范围内，11个可能的值（模6）中，有9个不能成为孪生素数。

然而，这同时也表明，在模6后的结果中，十一中有两个既没有素数的乘积也没有素数的平方。

因此，这两个(k)值必须都是孪生素数。

因此当 p = 17 时，相关的孪生素数是：(311, 313) 和 (347, 349)。

这满足了我们修改后的孪生素数猜想的性质：

17² = 289 < (311, 313) 和 (347, 349) < 17² + 4 × 17 = 357

接下来是一些更多示例，用术语（模6）表示。

表1.5

这些列，用(mod6)表示，从左到右依次为：素数(p)；素数(p)对应的(x, y)增长率；(p²)；(+4p)范围内孪生素数的数值；最后是该范围的最大值(p²+ 4p)。

要更清楚地了解为什么在这个(+4p)范围内总是有一对孪生素数，让我们聚焦于从(p²)到(p²+ 4p)这个范围内的(mod6)值的数量，这取决于素数(p)。

对于任何形如(p = 6k — 1)的素数(p)，该素数对6取模的结果可通过公式(p - 2k)计算得出。

当 (p) 可以表示为 (6k + 1) 时，个数由类似的公式 (p - (2k+1))) 确定。

把所有这些放在一起做成一张图表，孪生质数的动态就更加明显了：

表1.6如下

从左到右，第一列告诉我们小于质数(p)的质数有多少个。接下来，第二列显示(p²)的值，而第三列显示(p² + 4p)的值。接下来，在(mod6)下，表示(+4p)范围内(6k ± 1)的数量。

以下是下划线的三列是(+4p)范围内(mod6)的值的数量，紧挨着的是(6k ± 1)值中被小于(p)的素数形成的算术级数“击中”的(6k ± 1)值的数量。最后，红色数字所在的列告诉我们(p² + 4p)范围内有多少对孪生质数。

为了直观地确认这种半等差数列的模式，我们来创建一个(n x n)矩阵，用于表示素数及其倍数的(mod6)值，如下所示。我们用_(x, y)_来追踪这些数列，例如：

5：(+3, +2, +3, +2, +3, +2…)

7: (+5, +2, +5, +2, +5, +2…)，这是一个循环序列。

下面的表格展示了一个(n x n)形式的矩阵，其中包含小于31且形式为(6k +/– 1)的素数。加粗的对角线追踪各个素数平方(p²)的值（取模6）。

追踪各个素数平方(p²)的值（取模6）追踪了各个素数平方(p²)的值（取模6），这部分已经包含在加粗的对角线中。

表格1.7

红行代表的形式为(6k ± 1)，蓝列也是同样的形式。从左至右，从上至下，每一行和每一列都以形式为(6k ± 1)的质数开头。第二列和第二行记录了该质数的值（mod6）。其余的行和列跟踪形式为(6k ± 1)的质数倍数的(x, y)增长率在（mod6）中的算术级数的进展，无论是横向还是纵向。

使用这个(n x n)的矩阵，因为它对应于(6k +/– 1)这样的值，在模6的情况下，任何未在这个图表中出现的数字就是孪生质数。

也就是说，那个 (n x n) 矩阵是一张孪生质数的分布图，由于它们的缺失。

让我们来看几个素数和它们倍数对应的 (n x n) 矩阵的例子。例如，当 p = 11 时的情况。

11² < 孪生质数 < (11²+ 4(11))

这相当于：121 和 165 之间的孪生质数。

在模6的条件下，对于 p = 11，4p 的范围介于20和27.5之间。

哪些数值被较小的质数“命中”了？结果用粉红色标出。

表1.8

显然，从上面的(n x n)矩阵可以看出，有很多(6k ± 1)值不是素数。但同样，也缺少足够的较小素数来触及mod6范围内所有值。

这样，我们找到未被覆盖的模6值为23和25。

这可以表示为：20 < (23 以及 25) < 27.5

这可以这样写：121 < (137, 139) 以及 (149, 151) < 165。

我们确实发现了至少一对孪生素数。这种情况下的确是两对。

“不足的”较小的质数的倍数能否“触及”所有可能的（模6）位置是什么意思？我们怎么知道较小的质数永远无法触及所有的（模6）值？为什么质数的倍数总是会跳过某些（模6）值？为了回答这些问题，让我们回头看看埃拉托色尼筛法。

我们可以用（mod6）的方式来解答这个问题，使用我们修改过的数线和埃拉托色尼筛法。这些“被跳过”的值是因为较小质数的倍数交替出现。这种交替遵循一个质数的半算术级数规律。正如我们之前展示的，这取决于质数的独特值：(x, y)。

如我们先前所展示的，素数的倍数以不规则的模式增长：(+4p, +2p, +4p, +2p, +4p…)。这种不规则的增长模式代表了形式为6k±1的封闭数集之间的相互作用。这个数集通过乘法封闭，并且根据算术基本定理，它也是封闭的。换句话说，较小素数的倍数集合受到限制，因为素数及其倍数的加法和乘法必须等价且唯一。

此外，素数的某些排列规律保证了某些值总是以6k+1或6k-1的形式被“跳过”。这进一步得到了验证，当我们考虑素数的独特的（x, y）值时。此外，对于任何素数（p），在正4p的范围内，双胞胎素数的潜在的位置比较小素数数量的两倍还要多。

我们也知道，在(+4p)这个区间内，较小质数的倍数“命中”这些值会减少它们“命中”潜在位置的数量，因为一些质数的倍数会与(k)值重合。这使得在(p²)到(p² +4p)的区间内，较小质数及其倍数无法“覆盖”所有的孪生质数对可能的位置。

为了用反证法证明，让我们假设素数及其相应的倍数不是以它们特有的波动且不均匀的方式进行，而是以一种规律而均匀的模式（+3p, +3p, +3p, +3p, +3p…）交替。

那些较小的质数能不能够“覆盖”（模6）的各个可能值呢？

简而言之：不。原因很简单：由于素数的倍数遵循偶数（+3p或-3p, +3p或-3p, +3p或-3p, +3p或-3p, +3p或-3p…）的递增序列，这意味着任何形式为（6k +/– 1）的素数的值会循环经过2的倍数值。因此，这些较小的素数的倍数将不再符合形式（6k +/– 1）。

此外，如果差值是 (+3p)，那么这个倍数集合在乘法运算下将不再是封闭的。相反，结果会包含模3余数为+/–1的数。

比如说，考虑 p = 7 的情况。如果序列的模式是：(+3p, +3p, +3p, +3p, +3p…)，那么就会得到这样的交替数值序列：

注意，稳定的(+3p)算术序列“跳过了像35, 77, 119这样的非质数合数（这些合数的值为(7)(6k — 1)）”。这些非质数合数包括35, 77, 119等。

这意味着序列不会包含形式为7(6k + 1)的数的倍数。

波动的值（+4p）和（+2p）代表了较小素数唯一的方式，以此“击中”所有的倍数，并保持为（6k ± 1）的形式的封闭素数集合。

原因非常简单：对于任意素数p，加上(+4p)或(+2p)，这遵循素数特有的半算术序列，因此结果总是且仅会是形式为(6k ± 1)的倍数。

一种基于素数及其乘积（即由两个或多个素数相乘的结果）的波动特性的模块化证明方法

证明如下：

通过关注素数的模6性、它们的平方及其后续的素数复合数，我们可以证明孪生素数的无穷多。我们不是通过考察素数在数轴上所在的位置来实现这一点，而是考察素数不存在的地方。

定义说明: 所有大于3的质数都是这种形式: (6k +/– 1)。

所有素数的平方数都遵循这种形式：（6k+1）。

为了验证我们的孪生素数猜想动态，我们来看一个例子吧。

首先，我们必须确定一个素数的（模6）值，来确定它。比如我们可以取：

((p 加减 1) 除以 6)

例如，如果 (p = 11)，即 (11 + 1) ÷ 6 = 2，那么我们知道的是：(11 + 1) ÷ 6 = 2

我们接下来确定对于素数(p)的半算术级数的唯一(x, y)通胀率，以(mod6)模。

x = ((p — (p +/– 1) ÷ 3))

y = ((p ± 1) ÷ 3)

在模6的情况下，(11²)和(11)的差值是(即20减2等于18)。我们可以通过模6的半算术级数和(x, y)的值来解释这个差值。

当 ( p = 11 ) 时，( (x, y) ) 的比例是：( (7, 4) )。所以，它唯一的半等差序列是：( 2+7+4+7=20 )

这种(x, y)的比例模式适用于所有素数(p)。正是这种半算术序列中不均匀的比例证明了较小的素数永远无法“覆盖”(p² + 4p)范围内的所有(mod6)值。

为了形象地展示这与素数的半算术级数模式的关系，让我们再次看看帕斯卡三角形。我们可以创建一个(n x n)矩阵，在模6的条件下表示，并将其一分为二，然后旋转过来形成一个金字塔。

红色的数字表示(5, 7, 11, 13)这些数字的平方结果。对角线是(6k ± 1)值的取模(6)的余数。这样的金字塔图案会根据(x, y)的值而变化。

如下所述，如果我们再向金字塔中添加一个项，那么对角线（从右向左，或从左向右）现在反映交替数值 (x, y) 的相加，即：

从右向左，以形式 (6k +/– 1) 的数字开始，其值从 (k) 开始。模式通过添加 (x, y) 值交替变化。

如上所示的金字塔，某些值（mod6）被跳过。那些永远不会出现在金字塔中的值，无论金字塔延伸多远，它们代表了孪生质数对中(k)的值。

换句话说，如果我们把这种修改过的帕斯卡类似三角形无限扩展，它就会变成一张显示孪生素数分布的图，因为它们的缺失。

由于形式为 (6k — 1) 和 (6k + 1) 的数字，当它们有相同的 (k) 值时，以及构成素数组合的较小素数的数量有限，永远不会有足够的较小素数来“覆盖到”(+4p) 范围内潜在孪生素数的所有可能模6值。

“较小质数的‘频率’交集的数目由这些较小质数的数量决定，并且还受到每个质数的半算术级数的限制。”

关于素数（p），这意味着对于较小的素数来说，它们的半算术级数中各项之间的公差必须遵循如下模式：例如：（+4p, +2p, +4p, +2p…）。

每个较小的素数的半算术级数由交替的值（+4p和+2p）决定，这些值相对于素数的“间隔”而言，以及其独特的（x, y）值（mod6）。因此，从数学上来说，这保证了某些值总会被“跳过”。这些“跳过”的值一定是孪生素数对。

总的来说，可以表达为：

对于素数 p，范围 (+4p) 在 mod6 下的值的数量等于 2p/3。该数值总是大于小于 (\sqrt{p^2 + 4p}) 的素数数量的两倍。对于任何素数 p，这种规律都成立。

当我们谈论素数(p)及其倍数在+4p范围内的情况时，我们可以看到，小于该素数的素数与该素数的倍数在范围内有重叠的数量，将产生一个特定数量的“唯一命中”值（模6）。

当“唯一被命中的”值的数量（模6）从同一范围内孪生质数的可能位置中减去时，我们将其计算为(2p/3)，剩余的数字告诉我们哪些（模6）值不是质数的复合或平方质数。

如果这些数是形如 6k ± 1 的数，且它们不是素数的平方，也不是两个或更多较小素数的乘积，那么这些数就被证明是素数。而如果这些数之间的差距为+2且符合素数差距定义，它们就是一对孪生素数。

换句话说，当我们沿着数轴向上升时，我们将继续遇到+/– 1（模6）的值。当这些值没有被较小质数的“波长”所影响时，我们就能确认这是一个孪生质数。

这种规律进一步由算术基本定律和素数及其素数倍数形成的乘法闭集的性质所证实，所有这类形式的数字都具有形式6k±1。

素数和它们的倍数之间存在的不平等关系，那些“被跳过”的数值，以及可能存在的孪生素对数量，证明在这个范围内总能找到一对孪生素数。

(p²) < 孪生素数 < (p² + 4p)。

因此，这种相同的动态证明了波利加克的孪生素数猜想成立—

确实存在这样的素数对，它们之间的距离为2，这样的素数对会一直存在下去。

得证