阿贝尔群是一种数学群论，它是由阿贝尔（Abel）命名的。这一数学群论在20世纪初发展起来，对于研究抽象代数、数论、傅立叶分析等领域具有重要的意义。

阿贝尔群的基本概念和性质包括：

1. 群元素：群中的元素是向量，它们满足结合律和交换律。

2. 群运算法则：群中的加法和数乘都是满足结合律和交换律的。

3. 群空间：在群中定义一个向量空间，可以通过单位向量和向量乘法来描述群的基本运算。

4. 奇偶性：群具有奇偶性，即群中存在一个元素，使得它与其他元素的积的奇偶性相同。

5. 代表元素：对于群中的任意元素，都可以找到一个代表元素，使得它与代表元素的积等于单位向量。

阿贝尔群的应用非常广泛，例如在代数几何中，阿贝尔群可以用来描述射影代数和阿贝尔代数。此外，在密码学领域，阿贝尔群也被应用于模反元素和置换群的研究。

总之，阿贝尔群是一种非常有用的数学工具，它为许多数学领域的研究提供了重要的理论支持。