算法 | 歸并排序

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归并排序

归并排序算法的核心就是 “归并”，将两个有序的数列合并，形成更大的有序数组。

归并排序的原理

上面说了，归并排序的核心就是“归并”。如果排序一个数组，那么将数组从中间分成前后两部分，对前后两部分分别进行排序，然后再将排序好的合并在一起，那么这样整个数组就会成为更大的有序数组。例如下面示图：

归并排序使用的思想是分治思想，即是分而治之。将复杂问题分解成两个或者多个规模相同或类似的子问题，然后继续细化，当子问题足够简单，能够被求解，那么复杂的问题也就能够被求解出来。

这里跟递归的思想很像。递归也是将大问题细化为小问题，找出终止条件和递推公式。分治算法一般都是用递归实现的。分治的思想是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧，两者不会冲突。

上面说了，归并排序能够使用递归实现，那么现在先写出递推公式和终止条件。

# 递推公式
merge_sort(a...b) = merge(merge_sort(a...k), merge_sort(k+1, b))

# 终止条件
a >= b，不再继续分解

这里解释下上面的公式，终止条件不细讲，这里表示的，索引 a 大于等于索引 b，即是已经到达数组末尾，不能够再细分。

讲下递推公式，merge_sort(a...b)，表示给索引 a 到 k 之间的数组进行排序。这里将分体转为为两个子问题，merge_sort(a...k) 和 merge_sort(k+1...b)，其中 k 表示原数组中间的位置。而 merge() 函数表示当两个将两个排好序的子数组合并，这样就能够使原数组实现排序。

现在将这个递推公式转化为代码（这里使用伪代码）：

# nums 表示数组，a 为起始点，b 为数组末尾索引
def merge_sort(nums, a, b):
    # 终止条件
    if a >= b:
        return
    
    # 取中间位置
    k = (a + b) // 2
    # 分治递归
    merge_sort(nums, a, k)
    merge_sort(nums, k+1, b)
    merge(nums[a...b], nums[a...k], nums[k+1, b])

最后 merge() 函数的作用，就是将后面两个子数组合并好后放到 nums[a…b] 中。现在主要的问题是如何实现分解后排序合并？

先用一个简单的示例，如下示图：

先申请临时数组 temp，定义指针 i，j 分别指向两个子数组的第一个元素。比较 nums[i]，nums[j]，较小的元素放入临时数组中，同时该元素的指针向右移动。

循环上面的过程，直到其中一个子数组的所有数据都放入临时数组中，这个时候，将另外一个数组剩下的部分也放到临时数组中。这个临时数组就是最终合并的结果，将其复制回原数组即可。

现在用伪代码实现这个过程：

def merge(nums[a...b], nums[a...k], nums[k+1, b]):
    # length 表示数组大小
    temp = [0] * length

    # 初始化指针，i, j, ti
    i, j, ti, = a, k+1, 0
    # 取小值放入临时数组中，
    while (i <= k and j <= b):
        if (nums[i]<=nums[j]):
            temp[ti]=nums[i]
            i+=1
        else:
            temp[ti]=nums[j]
            j+=1
        ti+=1

    # 合并时会出现一个数组全部放入临时数组中，
    # 另外一个数组还有剩余，这里将剩余部分也放到临时数组中
    if i < nums[a...k].length:
        for x in range(i, nums[a...k].length):
            temp[ti] = nums[x]
            ti += 1
    else:
        for x in range(j, nums[k+1...b].length):
            temp[ti] = nums[x]
            ti += 1

    # 如果需要复制回原数组，也可以直接复制
    return temp