1.欧几里德算法的思想：
欧几里德算法的思想基于辗转相除法的原理，辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，欧几里德算法说白了其实就是辗转相除法的计算机算法的实现而已。下面我们先说说辗转相除法，辗转相除法的内容：如果用gcd(a,b)来表示a和b的最大公约数，那么根据辗转相除法的原理，有gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b))，其中mod()表示模运算，并且不妨让a>b,这样方便于模运算。
2.辗转相除法的正确性gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b))的证明：
第一步：令c为a和b的最大公约数，数学符号表示为c=gcd(a,b).因为任何两个实数的最大公约数c一定是存在的，也就是说必然存在两个数k1,k2使得a=k1.c, b=k2.c
第二步：a mod (b)等价于存在整数r,k3使得余数r=a – k3.b.
即r = a – k3.b
= k1.c – k3.k2.c
= (k1 – k3.k2).c
显然，a和b的余数r是最大公因数c的倍数。
此处a>=b:
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}扩展殴几里德：
现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解：
x = x0 + (b/gcd)*t
y = y0 – (a/gcd)*t
为什么不是：
x = x0 + b*t
y = y0 – a*t
这个问题也是在今天早上想通的，想通之后忍不住喷了自己一句弱逼。那是因为：
b/gcd 是 b 的因子， a/gcd 是 a 的因子是吧？那么，由于 t的取值范围是整数，你说 (b/gcd)*t 取到的值多还是 b*t 取到的值多？同理，(a/gcd)*t 取到的值多还是 a*gcd 取到的值多？那肯定又要问了，那为什么不是更小的数，非得是 b/gcd 和a/gcd ？
注意到：我们令 B = b/gcd ， A = a、gcd ， 那么，A 和 B 一定是互素的吧？这不就证明了 最小的系数就是 A 和 B 了吗？要是实在还有什么不明白的，看看《基础数论》（哈尔滨工业大学出版社），这本书把关于不定方程的通解讲的很清楚
现在，我们知道了一定存在 x 和 y 使得 ： a*x + b*y = gcd ， 那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。
我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd
当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？
假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？
我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：
gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)
对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？
这里：
x = y1
y = x1 – a/b*y1
以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写：
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b){
x=1;
y=0;
return a;
}
ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);
ll temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return ans;
}三、同余定理：
给定正整数m，a/m与b/m所得余数相同，称a、b同余。
a≡b(mod m),存在整数k，使a=b+km;
a+-*c≡b+-*c（mod m）
五、一元线性同余方程
定义：形如ax≡b(mod m), 且x是未知整数的同余式称为一元线性同余方程。
定理：a,b,m是整数且m>0，gcd（a，m）=d，如果d|b（‘|’的意思为整除即b%d==0）,则方程恰有d个模m不同余的解否则方程无解。
可以直接用扩展欧几里德求
什么叫乘法逆元？
如果ax≡1 (mod m),且gcd(a,m)=1（a与m互质），则称a关于模m的乘法逆元为x。
ax≡1 (mod m):ax对m取余恒为1
这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元
这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1
看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0
接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？
可以这样思考：
x 的通解不是 x0 + m*t 吗？
那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。
可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？
当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：
ll f(){ //ax≡b(mod m)
ll a,b,m;
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&m);
ll x,y;
ll d=exgcd(a,m,x,y);
if(b%d)
return -1;
x=x*(b/d)%m;
for(int i=0;i<d;i++)
printf("%lld ",(x+i*m/d)%m);
}六、线性同余方程组
X≡r1(mod a1)
X≡r2 (mod a2)
X≡r3 (mod a3)
………………
X≡rn (mod an)
X=r1+a1*x
X=r2+a2*y
àa1*x-a*2y=r2-r1
由扩展欧几里得通解x=x0+a2/gcd*t
带回原式 X=r1+a1*x0+a1*a2/gcd*t
由同余定理可知X≡r1+a1*x0 (mod a1*a2/gcd)
然后再令r1=r1+a1*x0
a1=a1*a2/gcd
可将X化为X≡r1 (mod a1)
然后再与后几项依次合并就可得出X。
ll solve(){
int n,flag=1;
ll a1,r1,a2,r2,x0,y0;
scanf("%d",&n);
scanf("%lld%lld",&a1,&r1);
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%lld%lld",&a2,&r2);
ll a=a1,b=a2,c=r2-r1;
ll d=exgcd(a,b,x0,y0);//d=gcd(a1,a2)
if(c%d)
flag=0;
int t=b/d;
x0=(x0*(c/d)%t+t)%t;//求x0的最小正整数解
r1=a1*x0+r1;
a1=a1*a2/d;
}
if(!flag)
return -1;
return r1;
}七、中国剩余定理
当线性同余方程组中的m1、m2、m3..mn两两互素时,则线性同余方程组
X≡a1(mod m1)
X≡a2 (mod m2)
X≡a3 (mod m3)
………………
X≡an (mod mn)
有模M=m1*m2*m3..*mn的唯一解。
Mi=M/mi
a1*M1*p1+a2*M2*p2+a3*M3*p3+..+an*Mn*pn就是同余方程组的解。
ll China(){
int n;
ll M=1,a[1005],m[1005];
ll Mi,x0,y0,ans=0,d;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
for(int i=0;i<n;i++)
M*=m[i];
for(int i=0;i<n;i++){
Mi=M/m[i];
d=exgcd(Mi,m[i],x0,y0);
ans=(ans+Mi*x0*a[i])%M;
}
return (ans+M)%M;
} #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#define INF 0x7fffffff
#define EPS 1e-12
#define MOD 100000007
#define PI 3.14159265357979823846
#define N 100005
using namespace std;
typedef long long LL;
LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
LL temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return ans;
}
LL cal(LL a,LL b,LL L)
{
LL x,y;
LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
if(L%gcd!=0) return -1;
x*=L/gcd;
y*=L/gcd;
a/=gcd;
b/=gcd;
LL ans=((LL)INF)*((LL)INF), f;
LL mid=(y-x)/(a+b);
for(LL T=mid-1;T<=mid+1;T++)
{
if(abs(x+b*T)+abs(y-a*T)==abs(x+b*T+y-a*T))
f=max(abs(x+b*T),abs(y-a*T));
else
f=fabs(x-y+(a+b)*T);
ans=min(ans,f);
}
return ans;
}
int main()
{
//freopen("in.in","r",stdin);
//freopen("out.out","w",stdout);
LL A,B,a,b,x,y;
int t; scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&a,&b);
LL L=B-A;
LL ans=cal(a,b,L);
if(ans==-1) printf("-1\n");
else printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}<span style="font-size:14px;"></span>
#include <iostream>using namespace std;long long extgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){ long long d, t; if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } d = extgcd(b, a % b, x, y); t = x - a / b * y; x = y; y = t; return d;}int main(){ long long x, y, m, n, L, X, Y, d, r; while (cin >> x >> y >> m >> n >> L) { d = extgcd(n - m, L, X, Y); r = L / d; if ((x - y) % d) cout << "Impossible" << endl; else cout << ((x - y) / d * X % r + r) % r << endl; } return 0;}
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